layout: post title: 海选文章:15 数学常数e的含义 description: ~ 得要相信,大妈法眼 author: zoomq categories: HaiDoc tags: gdg 海选文章 hd wechat thinking

数学常数e的含义

.1.

e是一个重要的常数,但是我一直不知道,它的真正含义是什么.

它不像π. 大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么. 你能回答吗?

维基百科说:

"e是自然对数的底数. "

但是,你去看"自然对数",得到的解释却是:

"自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828. "

这就构成了循环定义,完全没有说e是什么. 数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是很奇怪的事情吗?

.2.

昨天我读到一篇好文章 ,它把这个问题解释得非常清楚,而且一看就懂.

它说,什么是e?简单说,e就是增长的极限.

下面就是它的解释.

.3.

假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次.

那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍. 今天是1个,明天就是2个,后天就是4个. 我们可以写出一个增长数量的公式:

$growth=2^x$

上式中的x就表示天数. 这种生物在x天的总数,就是2的x次方. 这个式子可以被改成下面这样:

$growth = (1 + 100%)^x$

其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率.

.4.

我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了.

因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%.

$growth=(1+\frac{100%}{2})^2=2.25$

当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞. 其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的.

如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段.

$growth=(1+\frac{100%}{3})^3=2.37037...$

那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞.

很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?

$growth=(1+\frac{100%}{n})^n=?$

当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828....

$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{100%}{n})^n=2.718281828...$

因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞. 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值.

这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数.

.5.

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易.

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

$\lim_{n\to\infty}100(1+\frac{100%}{n})^n=100e=271.828...$

回答就是271.828元,等于100个e.

但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢?

$\lim_{n\to\infty}100(1+\frac{5%}{n})^n=?$ 　　

为了便于思考,我们取n等于50:

$100(1+\frac{5%}{50})^{50}=100(1+0.1%)^{50}$

我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000所得到的值非常接近e:

$(1+\frac{100%}{1000})^{1000}=(1+0.1%)^{1000}\approx e$

因此,5%利息率就相当于e的20分之一次方:

$(1+\frac{5%}{50})^{50}=[(1+\frac{100%}{1000})^{1000}]^{\frac{1}{20}}\approx e^{\frac{1}{20}}$

20分之一正好等于5%的利率率,所以我们可以把公式改写成:

$growth=e^{rate}$

上式的rate就代表增长率. 这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长.

.6.

再考虑时间因素,如果把钱在银行里存2年,可以得到多少钱?

$growth=(e^{r})^2=e^{2r}$

在时间t的情况下,通用公式就是:

$growth=(e^{r})^t=e^{r\cdot t}=e^{rt}$

上式就是计算增长量的万能公式,可以适用于任何时间,任何增长率.

.7.

回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间?

$100\cdot e^{5%t} = 200$

计算结果是13.86年:

$t=\frac{ln2}{5%}=\frac{0.693}{5%}=\frac{69.3}{5}\approx \frac{72}{5}$

上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是 72法则

的来源.

(完)

文档信息

版权声明:自由转载-非商用-非衍生-保持署名 | Creative Commons BY-NC-ND 3.0
原文网址:http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/07/mathematical_constant_e.html
最后修改时间:2013年12月 8日 17:13

是也乎

题图出自:

Matrix67: My Blog » Blog Archive » e的近似表达:一个令人惊讶的数字游戏

这个很漂亮的无理数 e 的近似表达,它恰好用到了 1 到 9 这 9 个数字. 猜猜看它能精确到 e 的小数点后多少位? 10 位? 100 位? 1000 位? 10000 位?

远比想象中的牛 B -- 它能精确到小数点后 18, 457, 734, 525, 360, 901, 453, 873, 570 位!

另外,文中提及的: 金融学所谓72法则,71法则,70法则和69.3法则,用作估计将投资倍增或减半所需的时间,反映出的是复利的结果.

计算所需时间时,把与所应用的法则相应的数字,除以预料增长率即可. 例如:

假设最初投资金额为100元,复息年利率9%,利用"72法则",将72除以9(增长率),得8,即需约8年时间,投资金额滚存至200元(两倍于100元),而准确需时为8.0432年.

谁是阮一峰?

My name is Ruan YiFeng(阮一峰). You can call me Frank. I was born in 1970s.

I am an Economics Ph.D, graduated from Shanghai University of Finance and Economics, and now am employed by a local college in Shanghai.

I am also an IT developer focused on web technology, and a strong advocate and believer of Free Software.

In spare time, I like reading book, surfing internet, watching movie and taking a leisurely walk outdoors.

Translations

黑客与画家(人民邮电出版社,2011,ISBN 9787115249494)
软件随想录(人民邮电出版社,2009,ISBN 9787115216342)
异常流行幻象与群众疯狂/困惑之惑([台湾]财讯出版社,2007,ISBN 9789867084385)
下一个大泡泡(中国社会科学出版社,2005,ISBN 9787500452300)

Coding

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http://about.me/ruanyf
http://baike.baidu.com/view/2564858.htm

(完)

最后修改时间: 2012-11-30 19:29:39

其实

大妈推荐此文章不是因为数学常识,而是:

数学公式生成器 - 阮一峰的网络日志

...

怎样才能把这个公式放到网页上呢?

传统的方式是,先在相关软件中把公式做出来,然后截图,再把图片贴到网页上,这样既麻烦又耗时. 我就在想,有没有便捷的方法,可以生成数学公式.

我知道,Google Chart接受TeX语言,实时返回数学公式的图片. 于是,我就用了一天时间,根据它的API,写出了一个"数学公式生成器".

...

其他公式的生成方法与其类似,大家可以自己摸索,任何时候都可以点击"查看"按钮,了解是否写错.

TeX几乎可以写出所有的数学公式(查看MediaWiki的参考网页),但是Google Chart只支持一部分的TeX语法,因此不保证所有时候都能得到想要的结果.

除了Google Chart,还有另一些服务,也能生成数学公式的图片,比如mathtran.org和mathurl.com ...

嚓! 人家一个经济学专业的, 只是写 blog 时,感觉输入公式麻烦, 就自个儿动手,基于公开服务,完成了一个方便, 彻底解决美观的数学公式输出问题的网页应用!!!

作为一个自称程序员的生物,我们好意思说这个不行那个不行嘛?

其实,早在奥黒公开鼓励国民全员学习编程前, 科学家们早已自发自主的学习各种编程知识来自个儿解决科学数据处理,科学实验数字化模拟等等实用问题了.

而 Google Chart API 在刚刚发布时,异常简单, 没有想到几年过去变成这么强大的服务了, 光是文档数量就比大妈刚刚见到时,多了十多倍...

所以? 开始编程吧,不要学习编程,而是真正的去 Coding!

以上...

码不停提马上无虫 ;-)

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